Родился в 1927 году в Москве в интеллигентной семье. Рисовать начал с детства, и после окончания школы в 1945 году поступил в Московский институт декоративно-прикладного искусства. Через год был арестован по обвинению в «антисоветской пропаганде», в лагере он провел восемь лет. Даже в заключении Свешников не забывал о творчестве и постоянно рисовал. В лагере он сблизился с Аркадием Штейнбергом (отец художника Эдуарда Штейнберга), который спас его от дистрофии. В 1954 году, после освобождения из лагеря, он на пару лет поселился в Тарусе, где уже жили Штейнберги. Там мастер создавал светлые и лиричные пейзажи. После реабилитации в 1956 году вернулся в Москву и стал работать в Гослитиздате, где проиллюстрировал многие литературные произведения. В 70-х годах художник нашел свою живописную манеру, отчасти напоминающую работы пуантилистов. Полота, словно сотканные из тысяч точек и штрихов разных оттенков, создавали иллюзорные и несколько меланхоличные миры. При всем богатстве наследия главным трудом в творчестве Свешникова является цикл лагерных рисунков. В этих работах, наполненных духом смерти и желанием жить, в полной мере проявился художественный гений Бориса Свешникова.
